Rappels sur les fonctions exponentielles

Définition

Soit \(a\) un réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base \(\bf \it a\) la fonction qui à tout réel positif \(x\) associe le réel \(a^x\).

Exemple

La fonction `f` définie, pour tout nombre réel \(x\), par \(f(x) = 2^x\) est la fonction exponentielle de base \(a = 2\).

Propriété

Soit \(a\) un réel strictement positif et \(f\) la fonction exponentielle de base \(a\).
Pour tout réel \(x\), \(f(x)>0\). Autrement dit, la fonction exponentielle de base \(a\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\).

Propriétés

Soit \(a\) un réel strictement positif et \(f\) la fonction exponentielle de base \(a\).

• Si \(0<a<1\), la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(a = 1\), la fonction \(f\) est constante et, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\), \(f(x)=1\).
• Si \(a>1\), la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
  

Exemples

• La fonction \(f\) définie, pour tout \(x\) réel, par \(f(x) = 12^x\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) car \(12 >1\).
• La fonction \(g\) définie, pour tout \(x\) réel, par \(g(x) = 0{,}4^x\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\) car \(0 < 0{,}4 < 1\).
• La fonction \(h\) définie, pour tout \(x\) réel, par \(h(x) = \Big(\dfrac{3}{5}\Big)^x\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\) car \(0<\dfrac{3}{5} < 1\).